6 課題7

課題文は http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/syori2-2005/jouhousyori2-2005-10/node8.htmlにあります。

(1)

小規模な問題なので電卓的に一つ一つコマンドを入力していっても十分ですが、 自分で関数を定義するとかなり楽に処理できます。

In[1]:= mysum[n_]:=Sum[1/2^k,{k,1,n}]

In[2]:= mysum[3]

        7
Out[2]= -
        8

In[3]:= mysum[{3,5,10,50}]

         7  31  1023  1125899906842623
Out[3]= {-, --, ----, ----------------}
         8  32  1024  1125899906842624

In[4]:= N[%,60]

Out[4]= {0.875000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    0.968750000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    0.999023437500000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    0.99999999999999911182158029987476766109466552734375000000000}

In[5]:= Sum[1/2^k,{k,1,{3,5,10,50}}]

         7  31  1023  1125899906842623
Out[5]= {-, --, ----, ----------------}
         8  32  1024  1125899906842624

In[6]:=  

つまり

$$s_n:=\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}$$

とおくとき、

$$s_3= \frac{7}{8} =0.875,$$

$$s_5= \frac{31}{32} =0.96875,$$

$$s_{10}= \frac{1023}{1024} =0.9990234375,$$

$$s_{50}= \frac{1125899906842623}{1125899906842624} =0.99999999999999911182158029987476766109466552734375.$$

もちろん等比数列の和の公式と

$$2^3=8,\quad 2^5=32,\quad 2^{10}=1024,\quad 2^{50}=1125899906842624$$

を知れば明らかな結果である。

(2)

例えば

  root3[n_]:=(root3[n-1]+3/root3[n-1])/2;root3[1]=1

のようにして関数 root3 を定義すると便利であろう。 小数の結果のみでよければ root[3]=N[1,60]] のようにすればよい (60桁の精度の $1$)。 以下ではもう少し凝ってみる。

In[1]:= x[n_,a_]:=(x[n-1,a]+a/x[n-1,a])/2

In[2]:= x[1,a_]:=x[1,a]=1

In[3]:= Table[x[n,3],{n,10}]

               7  97  18817  708158977  1002978273411373057
Out[3]= {1, 2, -, --, -----, ---------, -------------------, 
               4  56  10864  408855776  579069776145402304
 
     2011930833870518011412817828051050497
>    -------------------------------------, 
     1161588808526051807570761628582646656
 
     80957313605578358908887795350602568324792950627495792571646543704878940\
      
     >   17
>    -------------------------------------------------------------------------
     46740726803049617901689623601446146504427186362767757416581133707283760\
      
     >   64
 
>     , 131081732524639257263029684778781519606823938779762272955953002674777\
 
>      8869156184675079781409244667134996539912093324716384719508044596983036\
 
>      48792577 / 
 
>     75680073558942998051938864505913119483609300954880808364006749884322706\
 
>      9878908253282990504235133535052004565728687501994425856460541545875032\
 
>      18176}

In[4]:= N[%,60]

Out[4]= {1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    2.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    1.75000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    1.73214285714285714285714285714285714285714285714285714285714, 
 
>    1.73205081001472754050073637702503681885125184094256259204713, 
 
>    1.73205080756887729525435394607217191423510670911984376613038, 
 
>    1.73205080756887729352744634150587236780369509078195667060132, 
 
>    1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805581, 
 
>    1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805581, 
 
>    1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805581}

In[5]:= N[Sqrt[3],60]

Out[5]= 1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805581

In[6]:= %4 * %4

Out[6]= {1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    4.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    3.06250000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    3.00031887755102040816326530612244897959183673469387755102041, 
 
>    3.00000000847267379690743339529456165503718758201548235406396, 
 
>    3.00000000000000000598218342217178908328022472309684364547835, 
 
>    3.00000000000000000000000000000000000298220987470891480206901, 
 
>    3.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    3.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 
 
>    3.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}


In[7]:= N[N[Table[x[n,3]-Sqrt[3],{n,10}],400]]

                                                                 -9
Out[7]= {-0.732051, 0.267949, 0.0179492, 0.0000920496, 2.44585 10  , 
 
               -18           -37            -73            -146
>    1.72691 10   , 8.6089 10   , 2.13946 10   , 1.32135 10    , 
 
               -293
>    5.04018 10    }

In[8]:= 

これから、 誤差の常用対数に $-1$ をかけたもの (大ざっぱにいって合っている桁数と考えて良い) がおおよそ倍々ゲームで増えていくことが分かる。

$\sqrt{21}$ の場合にどうなるかは各自に任せる。