5 課題6

課題文は http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/syori2-2005/jouhousyori2-2005-09/node3.htmlにあります。

(1)

FactorInteger[] を使うわけですが、 掛け算して確認をしておきます。

In[1]:= FactorInteger[661775625]

Out[1]= {{3, 2}, {5, 4}, {7, 6}}

In[2]:= 3^2 5^4 7^6 

Out[2]= 661775625

これから

$$661775625=3^2 5^4 7^6$$

となります。

(2)

GCD[] 一発ですが、 念のため素因数分解してチェックしておきましょう。

In[1]:= GCD[2^15-1,2^20-1]

Out[1]= 31

In[2]:= FactorInteger[2^15-1]

Out[2]= {{7, 1}, {31, 1}, {151, 1}}

In[3]:= FactorInteger[2^20-1]

Out[3]= {{3, 1}, {5, 2}, {11, 1}, {31, 1}, {41, 1}}

(3)

これまた Expand[] 一発です。

In[1]:= Expand[(a+b)^5]

         5      4         3  2       2  3        4    5
Out[1]= a  + 5 a  b + 10 a  b  + 10 a  b  + 5 a b  + b

これで十分読めますが、

$$(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5.$$

(4)

Solve[] 一発です。まず 2 次方程式の方は

In[1]:= Solve[x^2+a x+b==0,x]

                          2                           2
               -a - Sqrt[a  - 4 b]         -a + Sqrt[a  - 4 b]
Out[1]= {{x -> -------------------}, {x -> -------------------}}
                        2                           2

で、確かに

$$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$$

ですね。

In[23]:= Solve[x^3+a x^2+b x+c==0,x]

Out[23]= {{x -> 
 
       -a     1/3    2
>      -- - (2    (-a  + 3 b)) / 
       3
 
                 3                     2       3        3                2
>        (3 (-2 a  + 9 a b + Sqrt[4 (-a  + 3 b)  + (-2 a  + 9 a b - 27 c) ] - 
 
                   1/3         3
>             27 c)   ) + (-2 a  + 9 a b + 
 
                      2       3        3                2         1/3
>           Sqrt[4 (-a  + 3 b)  + (-2 a  + 9 a b - 27 c) ] - 27 c)    / 
 
             1/3
>        (3 2   )}, {x -> 
 
       -a                       2
>      -- + ((1 + I Sqrt[3]) (-a  + 3 b)) / 
       3
 
             2/3      3
>        (3 2    (-2 a  + 9 a b + 
 
                        2       3        3                2         1/3
>             Sqrt[4 (-a  + 3 b)  + (-2 a  + 9 a b - 27 c) ] - 27 c)   ) - 
 
                              3
>       ((1 - I Sqrt[3]) (-2 a  + 9 a b + 
 
                        2       3        3                2         1/3
>             Sqrt[4 (-a  + 3 b)  + (-2 a  + 9 a b - 27 c) ] - 27 c)   ) / 
 
             1/3
>        (6 2   )}, {x -> 
 
       -a                       2
>      -- + ((1 - I Sqrt[3]) (-a  + 3 b)) / 
       3
 
             2/3      3
>        (3 2    (-2 a  + 9 a b + 
 
                        2       3        3                2         1/3
>             Sqrt[4 (-a  + 3 b)  + (-2 a  + 9 a b - 27 c) ] - 27 c)   ) - 
 
                              3
>       ((1 + I Sqrt[3]) (-2 a  + 9 a b + 
 
                        2       3        3                2         1/3
>             Sqrt[4 (-a  + 3 b)  + (-2 a  + 9 a b - 27 c) ] - 27 c)   ) / 
 
             1/3
>        (6 2   )}}

$$\{ \{ {x\rightarrow {\frac{-2 a + \frac{2 2^{\frac{1}{3}} \le... ...( 2 a^3 - 9 a b + 27 c \right) }^2}} \right) }^ {\frac{1}{3}}}{12}}}\} \}$$

(5)

In[25]:= f=x^2 Sqrt[x]+(x^3-x)Sqrt[x^2+x+1]

          5/2                 2         3
Out[25]= x    + Sqrt[1 + x + x ] (-x + x )

In[26]:= D[f,x]

            3/2                                                   3
         5 x                    2           2    (1 + 2 x) (-x + x )
Out[26]= ------ + Sqrt[1 + x + x ] (-1 + 3 x ) + -------------------
           2                                                     2
                                                 2 Sqrt[1 + x + x ]

In[27]:= Simplify[%]

                       2      3      4      3/2               2
         -2 - 3 x + 2 x  + 7 x  + 8 x  + 5 x    Sqrt[1 + x + x ]
Out[27]= -------------------------------------------------------
                                           2
                           2 Sqrt[1 + x + x ]


In[29]:= f=Sqrt[(1+x^2)/(1-x^2)]

                   2
              1 + x
Out[29]= Sqrt[------]
                   2
              1 - x

In[30]:= D[f,x]

                            2
          2 x     2 x (1 + x )
         ------ + ------------
              2          2 2
         1 - x     (1 - x )
Out[30]= ---------------------
                        2
                   1 + x
            2 Sqrt[------]
                        2
                   1 - x

In[31]:= Simplify[%]

                   2 x
Out[31]= -----------------------
                              2
                2 2      1 + x
         (-1 + x )  Sqrt[------]
                              2
                         1 - x

$$\left( x^2\sqrt{x} +(x^3-x)\sqrt{x^2+x+1} \right)' = \frac{-2 - 3... ...+ 8 x^4 + 5 x^{\frac{3}{2}} {\sqrt{1 + x + x^2}}}{2 {\sqrt{1 + x + x^2}}}$$

$$\left( \sqrt{\frac{1+x^2}{1-x^2}} \right)' = \frac{2 x}{{\left( -1 + x^2 \right) }^2 {\sqrt{\frac{1 + x^2}{1 - x^2}}}}$$

(6)

もちろん Integrate[] を使います。

In[33]:= Integrate[1/(x-2)^5,{x,0,1}]

           15
Out[33]= -(--)
           64

In[34]:= Integrate[1/(2+Cos[x]),{x,0,Pi}]

           Pi
Out[34]= -------
         Sqrt[3]

In[35]:=  

これは

$$\int_0^1\frac{1}{(x-2)^5}\D x=-\frac{15}{64}, \qquad \int_0^1\frac{1}{2+\cos x}\D x= \frac{\pi}{3}$$

を表している。 授業中にまわってみたときの印象では、 結構打ち間違いをしていました。 最初は Integrate[1/(2+Cos[x]),x] のようにして不定積分 (原始関数) を計算してみて ²、 それがうまく行ったら微分して元に戻るかチェックして見るのも 良いかもしれません。