0.0.0.4 2の解答

$x+y=u$, $x-y=v$ と変数変換する。$\Omega$ と対応するのは、 $D=\{(u,v); 0\le u\le 2, 1\le v\le 3\}$. (これは式の計算だけから分かるが、 1次変換で平行四辺形は平行四辺形に写ることからも、 もっともに感じられるであろう。) $x$ と $y$ について解くと、 $\left\{ \begin{array}{ll} x=(u+v)/2\\ y=(u-v)/2, \end{array}\right.$   ゆえに$\quad \left( \begin{array}{cc} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{array}\right) = \l... ...}{2} & \dfrac{1}{2} \\ [0.6em] \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \end{array}\right)$. ヤコビアンは

$$\frac{\rd(x,y)}{\rd(u,v)} =\det \left( \begin{array}{cc} x_u & x_... ...{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} =-\frac{1}{2}$$

となるので、

$$\DxDy=\left\vert\frac{\rd(x,y)}{\rd(u,v)}\right\vert\Du\,\Dv=\frac{1}{2}\;\Du\,\Dv.$$   (絶対値に注意！！)

$x^2-y^2=u v$ であるから、

$$J =\dint_D \sqrt{u v}\cdot\frac{1}{2}\Du\,\Dv =\frac{1}{2}\int_0^2 ... ...ac{1}{2}\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^2 \left[\frac{2}{3}v^{3/2}\right]_1^3$$

$$=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot2\sqrt{2}\cdot\frac{2}{3}\left(3\sqrt{3}-1\right) =\frac{4}{9}\sqrt{2}\left(3\sqrt{3}-1\right). \qed$$