0.0.0.2 解答

(1) $\sup A=3$, $\inf A=1$, $\sup B=1$, $\inf B=0$, $\sup C=\infty$, $\inf C=0$.

(2) まず $y=x^3-x$ の増減を調べる。

$$y'=3x^2-1=3\left(x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \left(x-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$$

であるから、増減表は下のようになり、

$$x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$   のとき$$\quad y=-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{9},$$

$$x=\frac{1}{\sqrt{3}}$$   のとき$$\quad y=\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{2\sqrt{3}}{9}.$$

$x$	$-1$		$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$		$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$		$1$
$y'$		$+$	0	$-$	0	$+$
$y$	0	$\nearrow$	$\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$	$\searrow$	$-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$	$\nearrow$	0

これから、 グラフの概形は図のようになり (…すみません、 図を描くのは面倒なのでさぼります。 それから $-1<\-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$ に注意しましょう。)、

$$f\left([-1,1]\right) =\left(-\dfrac{2\sqrt{3}}{9},\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\right)\cup\{-1\}.$$

これから $\dsp\min_{x\in[-1,1]}f(x)=-1$. ゆえに $\dsp\inf_{x\in[-1,1]}f(x)=\min_{x\in[-1,1]}f(x)=-1$.

$\dsp\max_{x\in[-1,1]}f(x)$ は存在しないが、 $\dsp\sup_{x\in[-1,1]}f(x)=\frac{2\sqrt{3}}{9}$. $\qedsymbol$

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