2 Lagrangeの未定乗数法 (条件付き極値問題)

条件 $g(x)=0$ の下での $f$ の極大値、極小値を調べる。 すなわち、$N_g$ を $g$ の零点集合

$$N_g:=\{x; g(x)=0\}$$

として、 $\left.f\right\vert _{N_g}\colon N_g\ni x\mapsto f(x)\in\R$ の極大値、 極小値を求める。

この例のように $g(x,y)=0$ が $y=\varphi(x)$ と解ければ簡単である。

$\lambda$ のことを Lagrange の未定乗数 (Lagrange multiplier) と呼ぶ。 例えば $a=(\alpha,\beta)$ とするとき、 $\alpha$, $\beta$, $\lambda$ は

$$f_x(\alpha,\beta)=\lambda g_x(\alpha,\beta),$$

$$f_y(\alpha,\beta)=\lambda g_y(\alpha,\beta),$$

$$g(\alpha,\beta)=0$$

を満たす。 3つの未知数 $\lambda$, $\alpha$, $\beta$ に関する3つの方程式である。

Proof. 仮定

$$\nabla g(a)\ne\twovector{0}{0}$$

より

$$\frac{\rd g}{\rd x}(a)\ne 0$$   or$$\quad \frac{\rd g}{\rd y}(a)\ne 0.$$

(i)

$\Dfrac{\rd g}{\rd y}(a)\ne 0$ の場合. 陰関数の定理から、点 $a$ の近傍で

$$g(x,y)=0 \Longiff y=\varphi(x)$$

と $y$ について解けて

$$\varphi'(x)=-\frac{\Dfrac{\rd g}{\rd x}(x,\varphi(x))} {\Dfrac{\rd g}{\rd y}(x,\varphi(x))}$$

となる。そこで

$$h(x):= f(x,\varphi(x))$$

とおくと

$$h'(x) = \frac{\rd f}{\rd x}(x,\varphi(x)) +\frac{\rd f}{\rd y}(x,\varphi(x))\varphi'(x)$$

$$= \frac{\rd f}{\rd x}(x,\varphi(x)) +\frac{\rd f}{\rd y}(x,\varph... ...frac{\rd g}{\rd x}(x,\varphi(x))} {\Dfrac{\rd g}{\rd y}(x,\varphi(x))} \right).$$

$h$ は $\alpha$ で極値となるから $h'(\alpha)=0$. $(\alpha,\varphi(\alpha)) =(\alpha,\beta)=a$ に注意して

$$\frac{\rd f}{\rd x}(a) -\frac{\Dfrac{\rd f}{\rd y}(a)} {\Dfrac{\rd g}{\rd y}(a)}\cdot\frac{\rd g}{\rd x}(a)=0.$$

ここで $\lambda$ を

$$\lambda=\frac{\frac{\rd f}{\rd y}(a)} {\frac{\rd g}{\rd y}(a)}$$   i.e.$$\quad \frac{\rd f}{\rd y}(a)-\lambda\frac{\rd g}{\rd y}(a)=0$$

とおくと

$$\frac{\rd f}{\rd x}(a)-\lambda\frac{\rd g}{\rd x}(a)=0.$$

まとめると

$$\nabla f(a)=\lambda \nabla g(a).$$

(ii)

$\Dfrac{\rd g}{\rd x}(a)\ne 0$ の場合. 今度は $g(x,y)=0$ を $x$ に ついて解けばよい。後は同様である。 $\qedsymbol$

ARRAY(0xfcd7dc) $\qedsymbol$

(準備中)