定理が使えない例

$f'(a)=0$ で、$H(a)$ が正値でも負値でも不定符号でもない場合は、 定理は何も言ってくれない。

$f(x,y)=x^4+y^4$, $a=(0,0)$ のとき、$f'(a)=0$,

$$H(a) =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

である。このとき $(x,y)\ne (0,0)$ ならば

$$f(x,y)=x^2+y^2>0=f(0,0)$$

であるから、$f$ は $a$ で狭義の極小である。

$f(x,y)=x^2-y^4$, $a=(0,0)$ のとき、$f'(a)=0$,

$$H(a) =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

である。このとき $\forall\eps\ne 0$ に対して、

$$f(\eps,0)=\eps^2>0=f(0,0),\quad f(0,\eps)=-\eps^4<0=f(0,0)$$

であるから、$f$ は $a$ で極値を取らない。

(準備中)