1 対称行列の符号の判定

実対称行列 $A$ が正値であるとは、 定義によれば $A$ の固有値がすべて 0 であることだが、 $A$ の特性方程式 $\det \left(\lambda I-A\right)=0$ の解がすべて正であることと同値である。 残念ながら特性方程式は解くのが大変な場合が多く、 $3$ 次方程式の場合で既に難しい。

Proof. (線形代数の本を見よ。) $\qedsymbol$ ARRAY(0xff08a4) $\qedsymbol$

連立1次方程式の解法に、 「Gauss の消去法」と呼ばれるものがある。 数学の授業では習わないかも知れないが、 コンピューター関係の授業ではしばしば紹介される (A 節を見よ)。 この方法の前半部分は行列の変形を行うが、 それを対称行列の符号の判定に利用できる。

Proof. (あまりストレートに書いていないので、 この定理の証明だけが欲しい人には強く勧められないが、 桂田 [1] にはとりあえず書いてある。) $\qedsymbol$ ARRAY(0xff08bc) $\qedsymbol$

実は、Gauss の消去法は、平方完成と関係がある。 実対称行列 $A$ を係数とする2次形式を、 (係数)$\times$(多項式)$^2$ の和の形に変形したときの、 係数が Gauss の消去法で得られた上三角行列の対角成分となっている。 証明はしないが、例を見てもらおう。

与えられた行列が正値か、負値か、不定符号か、あるいはそのいずれでもないか、 判定する必要が生じることがある。

• 与えられた行列が対角行列ならば、 対角成分が固有値なので、判定は簡単である。
  $$A=\begin{pmatrix} 1&0&0\ 0&2&0\ 0&0&3 \end{pmatrix}$$
  は対角行列で、固有値は $1$, $2$, $3$ でいずれも正なので $A$ は正値。
• 与えられた行列が2行2列ならば、特性方程式を解いて固有値を求めるのもアリ。
  $$A=\begin{pmatrix} 2&1\ 1& 2 \end{pmatrix}$$
  の特定多項式は $\det(\lambda I-A)=\lambda^2-(2+1)\lambda+(2\cdot 1-1\cdot 1)=\lambda^2-3\lambda+1$. 固有値は $\lambda=\dfrac{3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot 1}}{2}=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}>0$ であるから、いずれも正である。ゆえに $A$ は正値である。
• 与えられた行列の首座小行列式 $\det A_k$ の符号を調べる。 すべて正ならば $A$ は正値、 $\det A_k$ ( $k=1,2,\dots,n$) が順に $-+-+\cdots$ であれば $A$ は負値。 例えば
  $$A=\begin{pmatrix}2&1&1\ 1&2&1\ 1&1&2\end{pmatrix}$$
  の首座小行列式は

  $$\det A_1 =2>0,\quad \det A_2=2\cdot2-1\cdot 1=3>0,$$

  $$\det A_3 =2\cdot2\cdot2+1\cdot1\cdot1+1\cdot1\cdot1 -1\cdot2\cdot1-2\cdot1\cdot1-2\cdot1\cdot 1$$

  $$\quad =8+1+1-2-2-2=4>0$$

  
  
  であるから正値である。
• $A$ が2次実対称行列で $\det A<0$ ならば不定符号であり、 $\det A=0$ ならば正値でも負値でも不定符号でもない。
  ($A$ の固有値を $\lambda_1$, $\lambda_2$ とするとき、 $\lambda_1\lambda_2=\det A$ であるから。)