3.1 二項定理 (the binomial theorem)

授業では時間がないので、 「二項定理は証明まで込めて自分で復習しておいて下さい」というのだろう。

高校数学では帰納法による証明が標準的と思われる²。

二項係数に関する次の公式は、Pascalの三角形を作るときにも使われるので、 良く知っているはずである (知らずに Pascal の三角形を書いていたらダメよ)。

Proof.

$${m\choose k-1}+{m\choose k} =\frac{m!}{(k-1)!(m-(k-1))!}+\frac{m!}{k!(m-k)!}$$

$$=\frac{m!}{(k-1)!(m-k+1))!}+\frac{m!}{k!(m-k)!}$$

$$=\frac{k}{k(k-1)!}\cdot\frac{m!}{(m-k+1))!} +\frac{m!}{k!}\cdot\frac{m-k+1}{(m-k+1)(m-k)!}$$

$$=\frac{m!}{k!(m-k+1)!}\left(k+(m-k+1)\right) =\frac{m!(m+1)}{k!(m-k+1)!}$$

$$=\frac{(m+1)!}{k!((m+1)-k)!}={m+1\choose k}. \qed$$

$\qedsymbol$