問9

$C^\infty$ 級の2変数関数 $f(x,y)$ ( $(x,y)\in\R^2$) と、 $(a,b)\in\R^2$, $(h,k)\in\R^2$ があるとき、

$$F(t):=f\left(a+th, b+t k\right)$$   $$\mbox{($t\in\R$)}$$

とおくとき、次の (1), (2) に答えよ¹。          ----- 合成関数の微分法で、Taylorの定理の準備

(1)

$F'(t)$, $F''(t)$, $\dots$ を (いくつか) 計算せよ。

(2)

$F^{(m)}(t)$ ($m\in\N$) の公式を推測し、 数学的帰納法で証明せよ。

前半は計算であるが、要点は次の二つ。

(a)

chain rule

(b)

$f$ が $C^2$ 級ならば $f_{xy}=f_{yx}$, $f$ が $C^3$ 級ならば

$$f_{xxy}=f_{xyx}=f_{yxx}, \quad f_{yyx}=f_{yxy}=f_{xyy}.$$

$f$ が $C^\infty$ 級ならば、$f$ の偏導関数は、 $x$ で何回、$y$ で何回偏微分したかで決まり、 $\dfrac{\rd^{p+q}f}{\rd x^p\rd y^q}$ だけで表すことが出来る。

多くの人が (1) で $F'''(t)$ くらいまでを計算できるくらいまで時間を取って、

$$F^{(m)}(t)=\sum_{r=0}^m{m\choose r} \frac{\rd^m f}{\rd x^r\rd y^{n-r}}(a+th,b+tk)h^r k^{m-r}$$

を提示。$(a+b)^m$ を表す二項定理を思い出してもらう。

これは授業中に書かなかったが

$$F^{(m)}(t)=\left(h\frac{\rd}{\rd x}+k\frac{\rd}{\rd y}\right)^m f(a+th,b+tk).$$

これは極座標変換の例の前にやるのが正しいか？考えてみれば、 これも多変数関数の合成関数の高階導関数だなあ。