学生の質問から

$AB=I$ から $A=B^{-1}$ が結論出来るのですか？と尋ねられました。 出来ます²。あるいは、 $\varphi(\varphi^{-1}(y))=y$ ($y\in V$) から、 $\varphi'(a)\left(\varphi^{-1}\right)'(b)=I$ が得られるので、 結局

$$\left(\varphi^{-1}\right)'(b)\varphi'(a) =\varphi'(a)\left(\varphi^{-1}\right)'(b) =I.$$

多くのテキストで採用されている逆行列の定義 ($AB=BA=I$ のとき $A=B^{-1}$) より、 $\left(\varphi^{-1}\right)'(b)=\left(\varphi'(a)\right)^{-1}$. $\qedsymbol$

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