問

$\varphi(x)=x$ ($x\in\R^n$) とするとき、 $\varphi'(x)=I$ であることを示せ。

(解法1) 一般に「$f(x)=Ax+b$ ならば $f'(x)=A$」であるから、 $\varphi(x)=x=I x+0$ より、 $\varphi'(x)=I$.

(解法2) $\varphi=\begin{pmatrix}\varphi_1\ \vdots\ \varphi_n\end{pmatrix}$ とおくと、 $\varphi_i(x)=x_i$ ( $i=1,\dots,n$).

$$\frac{\rd \varphi_i}{\rd x_j}(x)=\frac{\rd}{\rd x_j}x_i =\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{($i=j$)}\\ 0 & \mbox{($i\ne j$)} \end{array}\right.$$

であるから、 $\varphi'(x)=\left(\delta_{ij}\right)=I$. $\qedsymbol$

上の定理では微分可能な逆関数の存在を仮定しているが、 実は $\det\varphi'(a)\ne 0$ という条件が成り立てば、 局所的な逆関数の存在が導かれるという、 逆関数定理がある。 それはこの講義科目の終盤に解説する予定である。 次の例で、 逆関数の微分法を使って $\left(\varphi^{-1}\right)'$ を計算しているが、 微分可能性を証明するには、本当は逆関数の定理のお世話になる必要があるだろう。

(以下はやや脱線 -- 無視してよろしい) この結果を逆関数の微分法を使わずに求めてみよう。 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ であるから、$r_x$ と $r_y$ は比較的簡単に得られる。

$$r_x =\frac{\rd}{\rd x}\left(x^2+y^2\right)^{1/2} =\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^{-1/2}\cdot\frac{\rd}{\rd x}(x^2+y^2) =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$$

$$r_y =\frac{\rd}{\rd y}\left(x^2+y^2\right)^{1/2} =\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^{-1/2}\cdot\frac{\rd}{\rd y}(x^2+y^2) =\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

これらがそれぞれ $\cos\theta$, $\sin\theta$ に等しいことは容易に分かる ⁴。 $\theta$ の導関数の方は少し難しい。割と多くのテキストに

$$\theta=\tan^{-1}\dfrac{y}{x}$$

と書かれているが⁵、 これは $\pmod \pi$ でしか正しくない式である。 本当は、 $\tan^{-1}\dfrac{y}{x}$ が主値 ( $(-\pi/2,\pi/2)$ 内の値) を意味するとして、

$$\theta= \left\{ \begin{array}{ll} \tan^{-1}\dfrac{y}{x} & \mbox{(... ...0$)} [1.6ex] \dfrac{3\pi}{2} & \mbox{($x=0$ かつ $y<0$)} \end{array}\right.$$

となるはずである。

$$\frac{\rd}{\rd x}\tan^{-1}\frac{y}{x} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\frac{\... ...right) =\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right)=-\frac{y}{x^2+y^2},$$

$$\frac{\rd}{\rd y}\tan^{-1}\frac{y}{x} =\frac{1}{1+(y/x)^2}\frac{\... ...\left(\frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x}{x^2+y^2}$$

であることから、

$$\theta_x=-\frac{y}{x^2+y^2},\quad \theta_y=\frac{x}{x^2+y^2}$$

が導けるが、 少々面倒である (例えば $y$ 軸上でどうすれば良いか分かりますか？)。 これがそれぞれ $-\dfrac{\sin\theta}{r}$, $\dfrac{\cos\theta}{r}$ に等しいことは容易に確められる。 $\qedsymbol$

ARRAY(0x1018ae4)ARRAY(0x1018ae4)