解答

(1)

$f=\begin{pmatrix}f_1\ f_2\end{pmatrix}$ とするとき、

$$f'(x,y) =\begin{pmatrix} \dfrac{\rd f_1}{\rd x} & \dfrac{\rd f_1}... ...y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2x y^3 & 3x^2 y^2 \\ 1 & 4y^3 \end{pmatrix}.$$

(2)

$a$ を定数とするとき、

$$\frac{\D}{\D x}\frac{1}{\sqrt{x^2+a}} =\frac{\D}{\D x}\left(x^2+a... ...ac{1}{2}\left(x^2+a\right)^{-3/2}\cdot 2x =-\frac{x}{\left(x^2+a\right)^{3/2}}$$

であるから、

$$f'(x,y,z) =\left(\frac{\rd f}{\rd x} \frac{\rd f}{\rd y} \frac{... ...t(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}}, \frac{z}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3/2}} \right).$$

(物理学に良く登場するポテンシャルの微分)

(3)

$$f'(r,\theta,\phi) =\begin{pmatrix} \dfrac{\rd f_1}{\rd r}&\dfrac{... ...\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi\\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{pmatrix}.$$

ヤコビアンは

$$\det f'(r,\theta,\phi) = \left\vert \begin{matrix}\sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\p... ... & r\sin\theta\cos\phi\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{matrix} \right\vert$$

$$=(-1)^{1+3}(-r\sin\theta\sin\phi) \left\vert \begin{matrix}\sin\t... ...\phi & r\cos\theta\sin\phi\ \cos\theta & -r\sin\theta \end{matrix} \right\vert$$

$$\quad+(-1)^{2+3}r\sin\theta\cos\phi \left\vert \begin{matrix}\sin... ...phi & r\cos\theta\cos\phi \ \cos\theta & -r\sin\theta \end{matrix} \right\vert$$

$$=r^2\sin\theta\sin^2\phi+r^2\sin\theta\cos^2\phi =r^2\sin\theta. \qed$$

ヤコビアンは後で以下のようなところで必要になる。

• 逆関数の定理の仮定の条件のチェック
• 重積分 (多変数関数の積分) の変数変換 (ヤコビアンは、 面積・体積の拡大率という意味がある)