0.0.0.1 問5

$f\colon\R^2\to\R$ を

$$f(x,y):= \left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^3 y}{x^2+y^2} & \mbox{($(x,y)\ne(0,0)$)}\\ 0 & \mbox{($(x,y)=(0,0)$)} \end{array}\right.$$

で定めるとき、 $f_{xy}(0,0)$ と $f_{yx}(0,0)$ を求めよ。

これは5月26日の Peano の例 の類題である (杉浦 [1] から持って来た)。

まず定義に従って計算して、

$$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0.$$

それから商の微分法によって

$$f_x(x,y)=\frac{x^2 y(x^2+3y^2)}{(x^2+y^2)^2}$$   $$\mbox{($(x,y)\ne(0,0)$)}$$$$,\quad f_x(0,y)=0$$   $$\mbox{($y\ne 0$)}$$$$.$$

(後者の $f_x(0,0)$ も定義に従って計算して構わない。)

同様に

$$f_y(x,y)=\frac{x^3(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}$$   $$\mbox{($(x,y)\ne(0,0)$)}$$$$,\quad f_x(x,0)=x$$   $$\mbox{($x\ne 0$)}$$$$.$$

これから

$$f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_x(0,h)-f_x(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0... ...0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f_y(h,0)-f_y(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1. \qed$$