ヤコビ行列、gradient

$\Omega$ は $\R^n$ の開集合、 $a\in\Omega$, $f\colon\Omega\to\R^m$ が $a$ で微分可能とするとき、 $f'(a)$ は行列であった。具体的には、 $f=\begin{pmatrix}f_1\ \vdots\ f_m\end{pmatrix}$, $x=\begin{pmatrix}x_1\ \vdots\ x_n\end{pmatrix}$ とおくとき、

$$f'(a) =\begin{pmatrix} \dfrac{\rd f_i}{\rd x_j}(a) \end{pmatrix}=... ...rac{\rd f_m}{\rd x_2}(a) & \cdots & \dfrac{\rd f_m}{\rd x_n}(a) \end{pmatrix}.$$

この行列を $f$ の ($a$ における) ヤコビ Jacobi 行列と呼ぶ。

さて、$m=1$ の場合を考えよう。このとき、

$$f'(a)= \left( \dfrac{\rd f}{\rd x_1}(a) \dfrac{\rd f}{\rd x_2}(a) \cdots \dfrac{\rd f}{\rd x_n}(a) \right)$$

と、ヤコビ行列は $1$行$n$列の行列、すなわち $n$ 次元横ベクトルになる。 この転置である $n$ 次元縦ベクトルを $\grad f(a)$ または $\nabla f(a)$ で表し、 $f$ の ($a$ における) gradient (勾配ベクトル) と呼ぶ:

$$\grad f(a)=\nabla f(a) :=f'(a)^T =\begin{pmatrix} \dfrac{\rd f}{\rd x_1}(a) \ \vdots \ \dfrac{\rd f}{\rd x_n}(a) \end{pmatrix}.$$

記号 $\nabla$ は単独でも ナブラnabla と呼ばれ、

$$\nabla =\begin{pmatrix} \dfrac{\rd}{\rd x_1} \ \vdots \ \dfrac{\rd}{\rd x_n} \end{pmatrix}$$

という意味で用いられる。 いわゆるベクトル解析では多用される。