前回を振り返る

前回、多変数関数の全微分可能性、偏微分可能性、 $C^1$ 級等の条件の間の関係を調べた。ここで振り返ってみよう。

まず、1変数関数の場合は非常に簡単である (要点は「微分可能ならば連続」くらいで、証明も高校数学)。

1変数関数の場合

   $C^1$級$$\qquad\Then$$   微分可能$$\qquad\Then$$   連続

($C^1$級とは、微分可能かつ導関数が連続なことであるから、 左の $\Then$ は明らかである。 右の $\Then$ は高校数学である。)

多変数関数の場合は、微分に(大きく分けて)二つの概念があり、 $C^1$級の概念もやや覚えにくい (実際、勘違いして覚えている人がかなり多い)。

多変数関数の場合

$$\begin{array}{lllll} \text{$C^1$級} \qquad\Then\qquad\text{微分可... ...c]{-30}{$\Longrightarrow$}\ [-2ex] &&\text{各変数につき偏微分可能} \end{array}$$

($C^1$ 級とは、 各変数につき偏微分可能かつすべての1階偏導関数ともとの関数自身が連続という ことである。一番左の $\Then$ も明らかではない。 右の $\Then$ は1変数の場合と本質的に同じ。 $\rotatebox[origin=c]{-30} {$\Longrightarrow$}$ は1変数関数にはなかったもので重要。)