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偏微分

数学のテキスト、講義では定義から始めるのが普通だが、 まずは実例を見せよう。


\begin{jexample}
実定数 $a$, $b$, $c$, $d$, $p$, $q$, $r$\ に対して、
\begin{di...
...{\rd}{\rd y}\left(\frac{\rd f}{\rd y}\right)=2c.
\end{displaymath}\end{jexample}


\begin{jdefinition}[1点における偏微分係数]
$\Omega$\ は $\R^n$\ の開集合, $f\co...
...x_j}f(a),\quad
f_{x_j}(a)
\end{displaymath}などの記号で表す。
\end{jdefinition}

ベクトル記法を使わずに、成分を用いて表すと

$\displaystyle \frac{f(a+he_j)-f(a)}{h}
=\frac{f(a_1,\dots,a_{j-1},a_j+h,a_{j+1},\dots,a_n)
-f(a_1,\dots,a_{j-1},a_j,a_{j+1},\dots,a_n)}
{h}
$

である。

記号 $ \rd$ は、 多変数関数の1つの変数に関する微分 (偏微分) であることを強調するためのもので、 partial `d', round `d', または単に `d' と読まれる (Jacobi に始まるものだそうである)。

偏導関数、高階微分、$ C^k$ 級 ( $ 0\le k\le\infty$) について述べる。


\begin{breakitembox}{}
\begin{jdefinition}[偏導関数、高階微分、$C^k$\ 級]
$\Ome...
... の $0$\ 階偏導関数ともいう。
\end{enumerate}\end{jdefinition}\end{breakitembox}


\begin{jremark}[$C^k$\ 級の定義]
実は $f$\ が $C^k$\ 級であるためには、
\begin{...
...蟲舛砲弔い討亙歇蘚�蔑�譴鮗茲�(右へならえする) ことにする。 \qed
\end{jremark}


\begin{jremark}[定義域が開集合である理由]
定義域を開集合としてあるので、
$\fora...
...な関数 $\widetilde f$\ に拡張可能なことと定義する場合が多い。 \qed
\end{jremark}


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Masashi Katsurada
平成23年6月2日