開集合、閉集合の判定 (続き)

Proof.

(1)

$A:=\{x\in\R^n; f(x)>a\}$ とする。 $x\in A$ とすると、$f(x)>a$. $\eps:=f(x)-a$ とおくと、$\eps>0$. $f$ は $x$ で連続だから、

$$\exists\delta>0\quad (\forall y\in\R^n; \Vert y-x\Vert<\delta)\quad \left\vert f(y)-f(x)\right\vert<\eps.$$

ゆえに $\forall y\in B(x;\delta)$ に対して、 $\left\vert f(y)-f(x)\right\vert<\eps$ であるから、 $-\eps<f(y)-f(x)<\eps$. ゆえに $f(y)>f(x)-\eps=f(x)-(f(x)-a)=a$. ゆえに $y\in A$. これは $B(x;\delta)\subset A$ を意味している。 ゆえに $A$ は $\R^n$ の開集合である。

$\{x\in\R^n; f(x)<b\}$ も同様に証明できる。あるいは $F(x):=b-f(x)$ と おくと、 $\{x\in\R^n; F(x)>0\}$ であることから。

$\{x\in\R^n; a<f(x)<b\}$ と $\{x\in\R^n; f(x)\ne c\}$ については、

$$\{x\in\R^n; a<f(x)<b\}=\{x\in\R^n; f(a)>a\}\cap \{x\in\R^n; f(x)<b\},$$

$$\{x\in\R^n; f(x)\ne c\}=\{x\in\R^n; f(x)<c\}\cup\{x\in\R^n; f(x)>c\}$$

と、次の命題0.2 の (iii), (ii) による。

(2)

$A:=\left\{x\in\R^n; f(x)\ge a\right\}$ とするとき、

$$A^c=\R^n\setminus A=\left\{x\in\R^n; f(x)<a\right\}$$

は、(1) の2番目より $\R^n$ の開集合である。 ゆえに $A$ は $\R^n$ の閉集合である。 $\left\{x\in\R^n; f(x)\le b\right\}$ が閉集合であることも同様に証明できる。 また $\{x\in\R^n; a\le f(x)\le b\}$ については、

$$\{x\in\R^n; a\le f(x)\le b\} =\{x\in\R^n; f(a)\ge a\}\cap \{x\in\R^n; f(x)\le b\}$$

と、二つの閉集合の共通部分になっているから、 次の系0.3 の (ii) により、閉集合である。 $B:=\{x\in\R^n; f(x)=c\}$ の補集合

$$B^c =\{x\in\R^n; f(x)=c\}^c =\{x\in\R^n; f(x)\ne c\}$$

は、(1) より $\R^n$ の開集合であるから、$B$ は閉集合である。 $\qedsymbol$

ARRAY(0xf63334) $\qedsymbol$

次の命題は既に習ったはずである (「集合・距離・位相１」でも出て来るはず)。

Proof. 念のため、(iii) だけでも証明しておく。 $x\in U_1\cap U_2$ とすると、 $x\in U_1$ で、$U_1$ は開集合だから、 $\exists \eps_1>0$ s.t. $B(x;\eps_1)\subset U_1$. 同様に $\exists\eps_2>0$ s.t. $B(x;\eps_2)\subset U_2$. $\eps:=\min\{\eps_1,\eps_2\}$ とおくと、 $\eps>0$ で、

$$B(x;\eps)\subset B(x;\eps_1)\subset U_1,\quad B(x;\eps)\subset B(x;\eps_2)\subset U_2$$

であるから、 $B(x;\eps)\subset U_1\cap U_2$. ゆえに $U_1\cap U_2$ は $\R^n$ の開集合である。 $\qedsymbol$ ARRAY(0xf62e30) $\qedsymbol$