問2

次の各関数が $\R^2$ で連続であることを示せ (理由を述べよ)。
(1) $f(x,y)=x^2+2x y+3y^2+4x+5y+6$      (2) $g(x,y)=\exp\left(3x+2y+1\right)$

(3) $h(x,y)=\dfrac{2x+1}{x^2+y^2+1}$      (4) $\varphi(x,y)=\log\left(1+\sqrt{x^2+y^2}\right)$      (5) $\psi(x,y)=\sqrt[3]{x}$

(6) $F(x,y)=\begin{pmatrix}x^3-3 x y^2\\ 3x^2 y-y^3\end{pmatrix}$

どういうことを使って良いか、前回解説してある。

(1)

$f$ は多項式関数なので $\R^2$ 全体で連続である。

(2)

$F\colon \R^2\ni(x,y)\mapsto 3x+2y+1\in\R$ は多項式関数なので、 $\R^2$ 全体で連続である。 また $G\colon\R\ni z\mapsto \exp z\in\R$ は連続である。 ゆえにそれらの合成である $g=G\circ F\colon\R^2\to\R$ は連続である。

(3)

$Q\colon\R^2\ni (x,y)\mapsto 2x+1\in\R$, $P\colon\R^2\ni(x,y) \mapsto x^2+y^2+1\in\R$ はともに多項式関数だから連続である。 また $P(x,y)\ge 1$ であるから、$P\ne 0$. ゆえに $h=\dfrac{Q}{P}\colon\R^2\to\R$ は連続である。

(4)

$F\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto x^2+y^2\in\R$ は多項式関数だから 連続であり、 $F(\R^2)=[0,\infty)$. また $G\colon[0,\infty)\ni z\mapsto \sqrt{z}\in\R$ は連続である。 ゆえに合成関数 $G\circ F\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto \sqrt{x^2+y^2}\in\R$ は連続である。 また $H\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto 1\in\R$ は定数関数だから連続である。 ゆえに $f:=H+G\circ F\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto 1+\sqrt{x^2+y^2}\in\R$ は 連続である。そして $f(\R^2)=[1,\infty)$. 対数関数 $g\colon(0,\infty)\ni z\mapsto \log z\in\R$ は連続である。 $f(\R^2)\subset (0,\infty)$ であるから、$g$ と $f$ は合成可能で、 $\varphi=g\circ f\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto\log(1+\sqrt{x^2+y^2})\in\R$ は連続である

(5)

$f\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto x\in\R$ は多項式関数だから連続である。 $g\colon\R\ni z\mapsto \sqrt[3]{z}\in\R$ は連続である。 ゆえに合成関数 $\psi=g\circ f\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto \sqrt[3]{x} \in\R$ は連続である。

(6)

$F_1\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto x^3-3xy^2\in\R$ と $F_2\colon\R^2\ni(x,y)\mapsto 3x^2y-y^3\in\R$ はともに 多項式関数だから連続である。 ゆえに $F=\begin{pmatrix}F_1\\ F_2\end{pmatrix}\colon \R^2\ni(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}x^3-3xy^2\\ 3x^2y-y^3\end{pmatrix}\in\R^2$ は連続である。$\qedsymbol$

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