問1

$I$ を $\R$ の区間、 $\vec f\colon I\to\R^n$, $\vec g\colon I\to\R^n$ とする。
(1) $\vec f$ と $\vec g$ がともに微分可能であるならば

$$\frac{\D}{\D t}\left(\vec f(t),\vec g(t)\right)= \left(\vec f\,'(t),\vec g(t)\right) + \left(\vec f(t),\vec g\,'(t)\right)$$   $$\mbox{($t\in I$)}$$

が成り立つことを示せ。
(2) 質点が等速運動するならば (つまり時刻 $t$ における位置を $\vec f(t)$ と表すとき、 $\left\Vert\vec f\,'(t)\right\Vert$ が定数関数となる)、 速度と加速度はつねに直交することを示せ。

(1)

$\begin{pmatrix}f_1\\ \vdots \\ f_n\end{pmatrix}:=\vec f$, $\begin{pmatrix}g_1\\ \vdots \\ g_n\end{pmatrix}:=\vec g$ とするとき、

$$\left(\vec f(t),\vec g(t)\right)=\sum_{j=1}^n f_j(t)g_j(t)$$

であるから、(1変数実数値関数の) 積の微分法を用いて、

$$\frac{\D}{\Dt} \left(\vec f(t),\vec g(t)\right) =\frac{\D}{\Dt}\sum_{j=1}^n f_j(t)g_j(t) =\sum_{j=1}^n\frac{\D}{\Dt}\left(f_j(t)g_j(t)\right) =\sum_{j=1}^n\left(f_j'(t)g_j(t)+f_j(t)g_j'(t)\right)$$

$$=\sum_{j=1}^n f_j'(t)g_j(t) +\sum_{j=1}^n f_j(t)g_j'(t) = \left(\vec f\,'(t),\vec g(t)\right) + \left(\vec f(t),\vec g\,'(t)\right).$$

(2)

仮定から、 $\exists C\in\R$ s.t. $\forall \in I$ $\left\Vert\vec f'(t)\right\Vert=C$. ゆえに

$$\left(\vec f'(t),\vec f'(t)\right)=\left\Vert\vec f'(t)\right\Vert^2=C^2.$$

両辺を $t$ で微分すると、(1) を用いて

$$\left(\vec f\,''(t),\vec f\,'(t)\right) + \left(\vec f\,'(t),\vec f\,''(t)\right)=0.$$

左辺は $2 \left(\vec f\,''(t),\vec f\,'(t)\right)$ であるから、

$$\left(\vec f\,''(t),\vec f\,'(t)\right)=0.$$

これは $\vec f\,''(t)$ と $\vec f\,'(t)$ が直交することを示す。 $\qedsymbol$

(1) の別解     積の微分法の証明を思い出して、それをベクトル値関数化する (この方法は無限次元でも通用する)。

$$\frac{1}{h} \left[ \left(\vec f(t+h),\vec g(t+h)\right)-\left(\ve... ...\left(\vec f\,'(t),\vec g(t)\right)+\left(\vec f(t),\vec g\,'(t)\right) \right]$$

$$\qquad =\left(\frac{\vec f(t+h)-\vec f(t)}{h}-\vec f'(t),\vec g(t+h)\right) +\left(\vec f'(t),\vec g(t+h)-\vec g(t)\right)$$

$$\qquad+\left(\vec f(t),\frac{\vec g(t+h)-\vec g(t)}{h}-\vec g'(t)\right)$$

であるから、絶対値を取って、Schwarz の不等式を使って評価すれば良い。 $\vec g$ が微分可能であるから、連続であって、$h\to 0$ のとき $\left\Vert\vec g(t+h)\right\Vert\to\left\Vert\vec g(t)\right\Vert$, $\left\Vert\vec g(t+h)-\vec g(t)\right\Vert\to 0$ となることに注意。

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