ベクトル値関数の極限は成分関数の極限を考えれば良い

次の定理は予告してあった。

$\begin{jtheorem} $I$\ は $\R$\ の区間、$\vec f\colon I\to\R^m$, $a\in\overline ... ...egin{pmatrix}A_1\\ \vdots\\ A_m\end{pmatrix}:=\vec A$\ とおいた。 \end{jtheorem}$

この定理の証明には、次の補題が用いられる。

$\begin{jlemma} 任意の $\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots x_m\end{pmatrix}\in\R... ...対して、 $\left\vert x_i\right\vert\le\left\Vert\vec x\right\Vert$. \end{jlemma}$

Proof. 任意の

に対して、

$\displaystyle \left\vert x_i\right\vert=\sqrt{x_i^2} \le\sqrt{x_1^2+\dots+x_m^2}=\left\Vert\vec x\right\Vert.$

ゆえに

$\displaystyle \max_{j=1,\dots,m}\left\vert x_j\right\vert\le\left\Vert\vec x\right\Vert.$

一方 $\vec e_j$ を第

成分が

で、他の成分は 0 であるような単位ベクトルとすると、 $\vec x=x_1\vec e_1+\dots+x_m\vec e_m$ であるから、

	$\displaystyle \left\Vert\vec x\right\Vert$	$\displaystyle \le \left\Vert x_1\vec e_1\right\Vert+\dots+\left\Vert x_m\vec e_... ...c e_1\right\Vert+ \dots+ \left\vert x_m\right\vert\left\Vert\vec e_m\right\Vert$
		$\displaystyle =\left\vert x_1\right\vert\cdot 1+\dots+\left\vert x_m\right\vert\cdot 1 =\sum_{j=1}^m\left\vert x_j\right\vert. \qed$

$\qedsymbol$