$1$変数ならばベクトル値でも簡単

$I$ を $\R$ の区間、 $\vec f\colon I\to\R^m$ とする。 各 $x\in I$ に対して、 $\vec f(x)\in\R^m$ であるから、

$$\begin{pmatrix} f_1(x) \\ f_2(x) \\ \vdots \\ f_m(x) \end{pmatrix}:=\vec f(x)$$

とおくと、各 $i\in\{1,2,\dots,m\}$ に対して、 $f_i\colon I\to\R$ である。

次のようにまとめておく (納得しやすいであろう)。

$m$次元ベクトル値関数とは、実数値関数$m$個の組である。

微積分をするには、極限や連続性が問題となるが、 1変数ベクトル値関数 $\vec f$ については、 極限や連続性、微分は「成分 $f_i$ ごと」に考えれば良い。

例えば、極限については、

$$\lim_{x\to a}\vec f(x)=\vec A\quad\Iff\quad \forall i\in\{1,2,\cdots,m\}\quad \lim_{x\to a}\vec f_i(x)=\vec A_i$$   $$\mbox{(ただし $\begin{pmatrix}A_1\\ A_2\\ \vdots \\ A_m\end{pmatrix}:=\vec A$)}$$$$.$$

言い換えると、

$$\lim_{x\to a} \begin{pmatrix} f_1(x) \\ f_2(x) \\ \vdots \\ f_m(x... ...\\ \dsp\lim_{x\to a}f_2(x) \\ \vdots \\ \dsp\lim_{x\to a}f_m(x) \end{pmatrix}$$

ということであり、「ベクトル値関数の極限は実数値関数の極限に帰着される」。

微分に関しても同様に、

$$\vec f'(x) =\begin{pmatrix} f_1'(x) \\ f_2'(x)\\ \vdots\\ f_m'(x) \end{pmatrix}.$$