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6.8 レムニスケート (lemniscate)

レムニスケート (lemniscate, 連珠形, 花輪を飾るリボンの輪)

$\displaystyle r^2=a^2\cos 2\theta$   $\displaystyle \mbox{($\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$)}$

$\displaystyle (x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)
$

\includegraphics[width=10cm]{eps/remniscate.eps}

図 12: ImplicitPlot[(x^2 + y^2) ^2 - 2(x^2 - y^2) == 0, {x, -1.5, 1.5}, {y, -1, 1}]
\includegraphics[width=10cm]{eps/Lemniscate.eps}

$ a=\sqrt{2}$ の場合、2点 $ (\pm1,0)$ からの距離の積が $ 1$ となる点の軌跡 である。

原点からの弧長は

$\displaystyle u=
\int_0^\theta \sqrt{r^2+(r')^2}\,\D\theta
=\sqrt{2}\int_0^\theta \frac{\D\theta}{\sqrt{2\cos2\theta}}
=\sqrt{2}\int_0^x\frac{\Dx}{\sqrt{1-x^4}}$   $\displaystyle \mbox{($x=\tan\theta$)}$$\displaystyle .
$

Gauss は逆関数 $ x=s(u)$ を考察して、その加法定理を発見した (Gauss によ る楕円関数の発見)。 彼はレムニスケイトの弧を 5 等分することが定規とコンパスで作図できること を見い出した。

杉浦 [#!______2!#], 高木 [#!______!#] を見よ。


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Masashi Katsurada
2011-10-01