2.3 課題2 (努力目標部分)

以下の中から出来ることを二つ三つやってみよう。 「難易度」は大まかな目安である (MATLAB を使うか、C を使うかでも異なる)。

• プログラムを C で書いた場合: 付録で説明した高橋版アルゴリズムを 用いるようにプログラムを書き直してみよ。
• 誤差、残差がそれぞれどのように減少するか観察せよ。単調減少するか？ (難易度小)
• (未知数の個数 $N$ が小さい場合で良いから) 残差ベクトル $\{r_i\}$ の 直交性、$\{p_i\}$ の共役直交性を数値計算で確かめよ (難易度中)。
• 係数行列の固有値について調べよ。厳密に求めることも可能であるし、 もちろん MATLAB を使ってもよい (C, C++ で書いた場合もここだけは MATLAB を使って構わない)。
• CG 法の収束の速さについて
  
  $$\frac{\Vert x^\ast -x_k\Vert}{\Vert x^\ast -x_0\Vert} \le ... ...bda\in\sigma(A)\}}, \quad \sigma(A)=\mbox{$A$ の固有値全体}$$
  
  
  が成り立つと言われているが、検証せよ (難易度中〜大)。
• 係数行列は三重対角行列なので、行列とベクトルの掛け算の計算量はかなり節 約できるはずである。これを遂行せよ (難易度中)。
• 講義で説明した SD 法 (steepest descent method -- 探索方向 ${\bf p_{k+1}}$ として ${\bf r_{k+1}}$ を用いる) のプログラムを作り、CG 法と比較せよ。