微分方程式 演習 No.7 (2007年12月20日出題) 1/10 解答配布

2007年12月20日に配布した 「非同次方程式の解法の解説補足」 (http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/ode/hidouji/) 中の問を演習して提出してもらった。 その答合せ用である。

以下 $C_1$, $C_2$ は任意定数である (面倒なので、 ここで一回だけ断って済ませる)。

(i)

$y''-3y'+2y=x+1$. $u=ax+b$ とおくと $u''-3u'+2u=2ax+(2b-3a)$. これが $x+1$ に等しくなるには、$2a=1$, $2b-3a=1$. これから $a=\dfrac{1}{2}$, $b=\dfrac{5}{4}$. ゆえに $u=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{4}$. 一般解は $y=C_1 e^{x}+C_2 e^{2x}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{4}$.

(ii)

$y''+y'=x+1$. $u=x(ax+b)$ とおくと、 $u''+u'=2ax+(2a+b)$. これが $x+1$ に等しくなるには、$2a=1$, $2a+b=1$. これから $a=\dfrac{1}{2}$, $b=0$. ゆえに $u=\dfrac{1}{2}x^2$. 一般解は $y=C_1+C_2e^{-x}+\dfrac{1}{2}x^2$.

(iii)

$y''=x+1$. $u=x^2(ax+b)$ とおくと、 $u''=6ax+2b$. これが $x+1$ に等しくなるには、$6a=1$, $2b=1$. これから $a=\dfrac{1}{6}$, $b=\dfrac{1}{2}$. ゆえに $u=\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{2}x^2$. 一般解は $y=C_1x+C_2+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{2}x^2$. (授業でも説明したが、微分方程式を直接2回積分しても求まる。)

(iv)

$y''-3y'+2y=e^{-x}$. $u=A e^{-x}$ とおくと、 $u''-3u'+2u=6A e^{-x}$. これが $e^{-x}$ に等しくなるには、 $A=\dfrac{1}{6}$. ゆえに $u=\dfrac{1}{6}e^{-x}$. 一般解は $y=C_1e^{x}+C_2e^{2x}+\dfrac{1}{6}e^{-x}$.

(v)

$y''+3y'+2y=e^{-x}$. $u=A x e^{-x}$ とおくと、 $u''+3u'+2u=A e^{-x}$. これが $e^{-x}$ に等しくなるには、$A=1$. ゆえに $u=x e^{-x}$. 一般解は $y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+x e^{-x}$.

(vi)

$y''+2y'+y=e^{-x}$. $u=A x^2 e^{-x}$ とおくと、 $u''+2u'+u=2A e^{-x}$. これが $e^{-x}$ に等しくなるには、 $A=\dfrac{1}{2}$. ゆえに $u=\dfrac{1}{2}x^2 e^{-x}$. 一般解は $y=C_1e^{-x}+C_2 x e^{-x}+\dfrac{1}{2}x^2 e^{-x}$.

(vii)

$y''-3y'+2y=\cos x$. $u=A \cos x+B \sin x$ とおくと、 $u''-3u'+2u=(A-3B)\cos x+(3A+B)\sin x$. これが $\cos x$ に等しくなるには、$A-3B=1$, $3A+B=0$. これから $A=\dfrac{1}{10}$, $B=-\dfrac{3}{10}$. ゆえに $u=\dfrac{1}{10}\cos x-\dfrac{3}{10}\sin x$. 一般解は $y=C_1 e^{x}+C_2 e^{2x}+\dfrac{1}{10}\cos x-\dfrac{3}{10}\sin x$.

(viii)

$y''+y=\cos x$. $u=x(A \cos x+B \sin x)$ とおくと、 $u''+u=2B\cos x-2A\sin x$. これが $\cos x$ に等しくなるには、 $B=\dfrac{1}{2}$, $A=0$. ゆえに $u=\dfrac{1}{2}x\sin x$. 一般解は $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x+\dfrac{1}{2}x\sin x$.