0.0.0.2 1 の解答

(1) 与えられた微分方程式から $\dfrac{\Dy}{y}=\dfrac{\Dx}{x(x-1)}$ であるから、

$$\int\frac{\Dy}{y}=\int\frac{\Dx}{x(x-1)} =\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}\right)\Dx.$$

ゆえに

$$\log\vert y\vert=\log\vert x-1\vert-\log\vert x\vert+\log C=\log C\left\vert\frac{x-1}{x}\right\vert$$   $$\mbox{($\log C$ は積分定数)}$$$$.$$

これから

$$y=\pm C\frac{x-1}{x}.$$

$\pm C$ を $C'$ とおいて、 $y=C'\dfrac{x-1}{x}$ ($C'$ は任意定数).
(2) $x=\dfrac{1}{2}$, $y=1$ を代入すると

$$1=C'\frac{1/2-1}{1/2}=-C'.$$

これから $C'=-1$. ゆえに $y=(-1)\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{1-x}{x}$. $\qedsymbol$

ARRAY(0xf90080)