0.0.0.10 解答

(1) まず対応する同次方程式 $z''+2z'-15z=0$ の一般解を求めよう。 特性方程式は $\lambda^2+2\lambda-15=0$ で、特性根は $\lambda=-5,3$. ゆえに一般解は $z=C_1 e^{-5x}+C_2 e^{3x}$. 特解を求めるため、$u=a x+b$ ($a$, $b$ は定数) とおくと、

$$u''+2u'-15u=0+2\cdot a-15(ax+b)=-15ax+(2a-15b).$$

これが $x+1$ と等しくなるには、$-15a=1$ かつ $2a-15b=1$ で、 $a=-\dfrac{1}{15}$, $b=-\frac{17}{225}$. ゆえに $u=-\dfrac{x}{15} -\dfrac{17}{225}$. ゆえに求める一般解は

$$y=z+u=C_1 e^{-5x}+C_2 e^{3x}-\dfrac{x}{15}-\dfrac{17}{225}.$$

(2) まず対応する同次方程式 $z''+6z'+9z=0$ の一般解を求めよう。 特性方程式は $\lambda^2+6\lambda+9=0$ で、特性根は $\lambda=-3$ (重根). ゆえに一般解は $z=C_1 e^{-3x}+C_2 x e^{-3x}$. 特解を求めるため、$u=a e^{x}$ ($a$ は定数) とおくと、

$$u''+6u'+9u=(a+6a+9a)e^x=16a e^x.$$

これが $e^x$ と等しくなるには、$16a=1$ すなわち $a=\dfrac{1}{16}$. ゆえに $u=\dfrac{e^x}{16}$. ゆえに求める一般解は

$$y=z+u=C_1 e^{-3x}+C_2 x e^{-3x}+\frac{1}{16}e^x.$$

(3) まず対応する同次方程式 $z''-4z'+13z=0$ の一般解を求めよう。 特性方程式は $\lambda^2-4\lambda+13=0$ で、特性根は $\lambda= 2\pm\sqrt{2^2-13}=2\pm 3i$. ゆえに一般解は $z=C_1 e^{2x}\cos 3x+C_2 e^{2x}\sin 3x$. 特解を求めるため、 $u=a \cos 3x+b\sin 3x$ ($a$, $b$ は定数) とおくと、

$$u''-4u'+13u=-9\left[(a-3b)\cos 3x+(3a+b)\sin 3x\right].$$

これが $\sin 3x$ と等しくなるには、

$$-9(a-3b)=0,\quad -9(3a+b)=1.$$

これを解いて $a=-\dfrac{1}{30}$, $b=-\dfrac{1}{90}$. ゆえに $u=-\dfrac{1}{90}\left(3\cos 3x+\sin 3x\right)$. ゆえに求める一般解は

$$y=z+u=C_1 e^{2x}\cos 3x+C_2 e^{2x}\sin 3x -\dfrac{1}{90}\left(3\cos 3x+\sin 3x\right).$$

(正直に白状すると) 実は、例の $m\ne 0$ となる問題を出そうとしてミスしました。 代りに次の問題を出しておきます。