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(1) まず部分分数分解しなくてはならない。 分母の実数の範囲での因数分解は $x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)$ であり、

$$\frac{1}{x^4-1}=\frac{1}{(x^2+1)(x+1)(x-1)} =\frac{A x+B}{x^2+1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x-1}$$

を満たす定数 $A$, $B$, $C$, $D$ が存在するはずである。 分母を払って

$$1=(A x+B)(x+1)(x-1)+C(x^2+1)(x-1)+D(x^2+1)(x+1).$$

$x=1$, $x=-1$ を代入したり、最高次の係数や定数項を比較したりして、

$$A=0, \quad B=-\frac{1}{2},\quad C=-\frac{1}{4},\quad D=\frac{1}{4}$$

が導かれる²。すなわち

$$\frac{1}{x^4-1}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{4} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$$

となる。これから

$$\int\frac{\D x}{x^4-1} = -\frac{1}{2}\tan^{-1}x +\frac{1}{4} \left( \log\vert x-1\vert-\log\vert x+1\vert \right)+C.$$

(2) 広義積分であるから、定義に従って

$$\int_{\sqrt{3}}^\infty\frac{\D x}{x^4-1} = \lim_{R\to\infty} \int_{\sqrt{3}}^R\frac{\D x}{x^4-1}$$

$$= \lim_{R\to\infty} \left[ -\frac{1}{2}\tan^{-1}x +\frac{1}{4} \lef... ...vert x-1\right\vert-\log\left\vert x+1\right\vert \right) \right]_{\sqrt{3}}^R.$$

ここで $R\to \infty$ のとき

$$\tan^{-1}R\to \frac{\pi}{2},\quad \log(R-1)-\log(R+1) =\log\frac{R-1}{R+1} =\log\frac{1-1/R}{1+1/R} \to\log 1=0$$

であること、 $\tan^{-1}\sqrt{3}=\dfrac{\pi}{3}$ に注意すると、

$$\int_{\sqrt{3}}^\infty\frac{\D x}{x^4-1} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}+0 -\left( -\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3} +\frac{1}{4}\left(\log(\sqrt{3}-1)-\log(\sqrt{3}+1)\right) \right)$$

$$= \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}\log\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$

$$= -\frac{\pi}{12}+\frac{1}{4}\log\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}$$

$$= -\frac{\pi}{12}+\frac{1}{4}\log(2+\sqrt{3}).$$

ちなみに値は $0.06744\cdots$ (かなり小さい)。