4

(1) 部分分数分解は

$$\frac{1}{x^4-1}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{4} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$$

となる。これから

$$\int\frac{\D x}{x^4-1}=-\frac{1}{2}\tan^{-1}x+\frac{1}{4} \left(\log\vert x-1\vert-\log\vert x+1\vert\right)+C.$$

(2)

$$\int_{\sqrt{3}}^\infty\frac{\D x}{x^4-1} = \lim_{R\to\infty}\left[-\frac{1}{2}\tan^{-1}x+\frac{1}{4} \left(\log\vert x-1\vert-\log\vert x+1\vert\right)\right]_{\sqrt{3}}^R$$

$$= -\frac{\pi}{12}+\frac{1}{4} \left( \log(\sqrt{3}+1) -\log(\sqrt{3}-1) \right).$$

ちなみに値は $0.06744\cdots$ (かなり小さい)。