確率の定義？

-- ある意味では、個々の問題の確率の定義は確率論の外にある --

確率とは、事象の確からしさを表わす尺度で、0 以上 $1$ 以下の値を取 り、必ず起こる事象の確率は$1$, 起こらない事象の確率は 0, などの性質 を持っている。

Laplace による素朴な確率の定義

Laplace は、標本空間が $U=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ で、根元事象

$$\{a_1\}, \{a_2\}, \cdots, \{a_n\}$$

が同様に確からしい⁶とき、 $U$ の事象 $A$ の確率 $P(A)$ を、

$$P(A)\DefEq \frac{\sharp A}{n}$$   $$\mbox{(ただし $\sharp A$ で事象 $A$ に含まれる要素の個数を表わす)}$$

と定義した。

• 現実世界の「試行」について、標本空間の設定は色々考えられるが、上のよ うにして確率を定めるためには、根元事象がいずれも同様に確からしいように する必要がある。例えば、二枚のコインを投げて、表裏を調べる場合に、標本 空間として
  $$U=\{ 2枚とも表, 表と裏が1枚ずつ, 2枚とも裏 \}$$
  というのを考えると、根元事象は同様に確からしくはならない。二つのコイン に区別をつけて -- 例えばコイン A とコイン B --、試行の結果を
  $$(コインAの裏表, コインBの裏表)$$
  というように結果を表わす、すなわち
  $$U=\{(表,表), (表,裏), (裏,表), (裏,裏)\}$$
  を標本空間とすると、根元事象は同様に確からしくなる。
• 上にあげた「素朴な確率の定義」では、例えば
  $$P(\{1\})=2/7, \quad P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=P(\{5\})=P(\{6\})=1/7$$
  となっているような「正しくない」いびつなサイコロを扱うことが難しくなっ てしまう。そこで、現代の確率論では、個々の問題における確率法則 $P$ の 決め方については言及せず、ただ $P$ の満たすべき法則だけを指定し、そこ から導かれることを論じる。