B. 束

順序集合 $L$ の元 $x$, $y$ に対して、$\{x,y\}$ の上限、下限が存在す るとき、これらを $x$, $y$ の結び (join), 交わり (meet) と呼び、$x \cup y$, $x \cap y$ で表わす。$L$ の任意の 2 元が結びと交わりを持つとき、 $L$ を束 (lattice) または束順序集合 (lattice ordered set) と呼ぶ。

束 $L$ においては、可換法則、結合法則、吸収法則が成り立つ。

逆にある集合 $L$ において、 2 種類の算法 $\cup$, $\cap$ が定義され、 これらについて上の 3 法則が成り立っていれば、

$$x\cup y=y \Iff x\cap y=x$$

であり、この条件の片方 (よって両方) が成り立つとき $x\le y$ と定めれば、 この関係 $\le$ に関して $L$ は束となる。しかもこのとき、$\{x,y\}$ の上 限、下限は $x \cup y$, $x \cap y$ に等しい。よって、束とは、上の 3 つの 法則が成り立つ算法が与えられた代数系であると定義することも出来る。 なお、束においては、巾等法則

$$x\cup x=x, \quad x\cap x=x$$

が成り立つ。

分配法則の成り立つ束を分配束、相補法則の成り立つ束を相補束と呼ぶ。 分配束かつ相補束であるものを Boole 束という。 Boole 束においては、任意の元の補元が一意的である。