10.3.0.1 解答

確率密度関数を $f(x)$ とすると、 $\alpha\leqq x\leqq \beta$ で定数、 それ以外では 0 で、積分は $1$ になることから、

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \Dfrac{1}{\beta-\alpha} & \mbox{... ...それ以外、つまり $x<\alpha$ または $x>\beta$)} \end{array} \right.$$

となることが分かる。

$$E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x) \Dx =\int_{\alpha}^\beta x \f... ... =\frac{1}{\beta-\alpha} \frac{\beta^2-\alpha^2}{2} =\frac{\beta+\alpha}{2}.$$

$$E(X^2)=\int_{-\infty}^\infty x^2 f(x) \Dx =\frac{1}{\beta-\alph... ...-\alpha} \frac{\beta^3-\alpha^3}{3} =\frac{\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2}{3}.$$

$$V(X) = E(X^2)-E(X)^2$$

$$= \frac{\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2}{3} -\left(\frac{\beta+\alpha}{2}\right)^2$$

$$= \frac{4(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2)- 3(\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2)}{12} =\frac{\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2}{12}$$

$$= \frac{(\beta-\alpha)^2}{12}. \quad\qed$$

確率変数 $X$ の確率密度関数が

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} a x(1-x) & \mbox{($0\leqq x\leqq... ...&\mbox{(それ以外、つまり $x<0$ または $x>1$)} \end{array} \right.$$

であるとする。このとき

1. $a$ の値を求めよ。
2. $E(X)$, $V(X)$ の値を求めよ。