9.0.0.1 証明

チェビシェフの不等式

$$P(\vert X-m\vert\geqq\lambda\sigma)\leqq\frac{1}{\lambda^2}$$   $$\mbox{($\lambda>0$)}$$

において余事象を考えると

$$P(\vert X-m\vert<\lambda\sigma)\geqq 1-\frac{1}{\lambda^2}.$$

ゆえに

$$P\left(\left\vert\frac{X}{n}-\frac{m}{n}\right\vert<\frac{\lambda\sigma}{n}\right) \geqq 1-\frac{1}{\lambda^2}.$$

ここで $m=n p$, $\sigma=\sqrt{n p(1-p)}$ より

$$P\left(\left\vert\frac{X}{n}-p\right\vert<\lambda\frac{p(1-p)}{n}\right) \geqq 1-\frac{1}{\lambda^2}.$$

$\lambda=\alpha\sqrt{\frac{n}{p(1-p)}}$ とすると

$$P\left(\left\vert\frac{X}{n}-p\right\vert<\alpha\right) \geqq 1-\frac{p(1-p)}{n\alpha^2}.\quad\qed$$