3.0.0.2 証明

$$A'=A\cap \overline B, \quad B'=B\cap \overline A, \quad C=A\cap B$$

とおくと、以下のことが分かる (ベン図を描いてみるか、あるいは計算でも証 明できる)。

• $A'$, $B'$, $C$ のどの二つの事象も互いに排反である: $A'\cap B'=B'\cap C=C\cap A'=\phi$.
• $A=A'\cup C$. ゆえに $P(A)=P(A')+P(C)$.
• $B=B'\cup C$. ゆえに $P(B)=P(B')+P(C)$.
• $A\cup B=A'\cup B'\cup C$. ゆえに $P(A\cup B)=P(A')+P(B')+P(C)$.

これらの等式から

$$P(A\cup B) = (P(A)-P(C))+(P(B)-P(C))+P(C) =P(A)+P(B)-P(C)$$

$$= P(A)+P(B)-P(A\cap B). \quad\qed$$