1 おまけ — Mathematica で素朴に検算

Mathematica で Fourier 係数を求めるには、 上に紹介した FourierCosCoefficient[], FourierSinCoefficient[] を使うのが便利であるが、 基本的な機能を用いて計算するどうなるか、少し見ておこう。

$a_n$ が求まる？

1/Pi Integrate[f[x]Cos[n x],{x,-Pi,Pi}]

$\cos n\pi$, $\sin n\pi$ というのが出て来る。 $n$ が整数と仮定していないので、簡単にならない。 $n$ が $\mathbb{Z}$ (the set of all integers) の要素 (element) であることを Element[n,Integers] と教えてみよう。

a[n_]:=Simplify[1/Pi Integrate[f[x]Cos[n x],{x,-Pi,Pi}],Element[n,Integers]]
a[n]

これで、 $\dfrac{2\left(-1+(-1)^n\right)^2}{n^2\pi}$ が得られる。 この結果は $n=0$ のときナンセンスである。 その場合は別に計算しなければいけないのは、手計算と同じであるが、 遅延評価をする := を使って関数定義してあるので、単に

a[0]

とすれば $\pi$ が得られる。

Table[a[n],{n,0,10}]