1.5 計算練習: $g$ の Fourier 係数

$g$ の Fourier 級数展開を求めてみよう。 $g$ は奇関数であるから、$a_n=0$ はすぐ分かる (実際、 $g(x)\cos nx$ は奇関数であるから $[-\pi,\pi]$ で積分すると 0)。

$g(x)\sin nx$ は偶関数で、$x>0$ では $\sin nx$ に等しいので、

$$b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi g(x)\sin nx\;\Dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi \sin nx\;\Dx$$

$$=-\frac{2}{\pi}\left[\frac{\cos nx}{n}\right]_0^\pi =-\frac{2}{n\... ...n$ が偶数)}\ \dfrac{4}{n\pi}& \text{($n$ が奇数)}. \end{array} \right.$$

ゆえに

$$S[g](x)=\frac{4}{\pi} \left( \frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right).$$