0.0.0.6 2.

$(0,0)$, $(2,0)$, $(1,1)$ を頂点とする三角形 (の内部と周) $\Omega$ に対して、 $\dsp\dint_\Omega x y\;\DxDy$ を求めよ。

(解)     先に $x$ で積分する (公式 ( $\spadesuit_2$) を使う) 方針で解いてみよう ¹。 左側のグラフは $x=y$ ($y=x$ を $x$ について解く), 右側のグラフは $x=2-y$ ($x+y=2$ あるいは $y=2-x$ を $x$ について解く) なので、 $\Omega=\{(x,y); 0\le y\le 1,\ y\le x\le 2-y\}$ と書けることが分かり、 $\Omega$ は縦線集合である。

$$I =\int_0^1\left(\int_y^{2-y}x y\;\Dx\right)\Dy =\int_0^1\left(y\le... ...ight]_{x=y}^{x=2-y}\right)\Dy =\frac{1}{2}\int_0^1 y\left((2-y)^2-y^2\right)\Dy$$

$$=\frac{1}{2}\int_0^1 y\left(4-4y\right)\Dy =2\int_0^1(y-y^2)\Dy=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}.$$