0.0.0.5 1.

$y=1-x^2$ と $y=(x-1)^2$ で囲まれる閉領域 $\Omega$ に対して、 $I=\dsp\dint_\Omega y\;\DxDy$ を求めよ。

(解)     図を描いてみると $\Omega=\{(x,y); 0\le x\le 1,\ (x-1)^2\le y\le 1-x^2\}$ となることが分かり、$\Omega$ は縦線集合である。

$$I =\int_0^1\left(\int_{(x-1)^2}^{1-x^2}y\;\Dy\right)\Dx =\frac{1}{2... ..._{y=(x-1)^2}^{y=1-x^2}\Dx =\frac{1}{2}\int_0^1\left[(1-x^2)^2-(x-1)^4\right]\Dx$$

$$=\frac{1}{2}\int_0^1 4x^3-8x^2+4x\;\Dx =\frac{1}{2}\left[x^4-\frac{8}{3}x^3+2x^2\right]_0^1 =\frac{1}{2}\left(1-\frac{8}{3}+2\right)=\frac{1}{6}.$$