... と置換すること¹

$\dsp\int\frac{\Dx}{x^2+a^2} =\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ は覚えにくいので、 $x=a y$ あるいは $x=a\tan\theta$ と置換するのが私のお勧め。 後者の場合、 $\dfrac{1}{x^2+a^2}=\dfrac{1}{a^2(1+\tan^2\theta)},\quad \Dx=a\dfrac{1}{\cos^2\theta}\D\theta=a(1+\tan^2\theta)\D\theta$ より $\dsp\int\frac{\Dx}{x^2+a^2}=\int\frac{\D\theta}{a} =\frac{\theta}{a}=\frac{1}{a}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$.

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