1 平面極座標

平面に直交する座標軸 $x$ 軸，$y$ 軸を取って座標を入れる $x y$ 座標系で、 $(x,y)$ という座標を持つ点 $\mathrm{P}$ の原点 $\mathrm{O}$ からの距離を $r$, $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ が $x$ 軸の正方向となす角を $\theta$ ( $0 \le \theta < 2\pi$) とすると、

$$\left\{ \begin{array}{l} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{array}\right.$$

がなりたつ。

写像

$$f\colon [0,\infty)\times [0,2\pi) \ni (r,\theta) \longmapsto (x,y) \in \R^2$$

は $C^\infty$- 級で、定義域を $r\ne 0$ の範囲、すなわち $(0,\infty)\times[0,2\pi)$ に制限すれば $1$対$1$ である。特に

$$f\vert _{(0,\infty)\times[0,2\pi)}\colon (0,\infty)\times[0,2\pi)\ni (r,\theta)\longmapsto f(r,\theta)\in\R^2\setminus \{(0,0)\}$$

は全単射である。

逆の計算、つまり $(x,y)$ から $(r,\theta)$ を求めるには、$r$ の方は

$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

と $x$, $y$ の式として簡単に表されるが、$\theta$ の方は標準的な 記法がない。強いて書けば

   $$\mbox{$(x,y)\ne (0,0)$\ のとき}$$$$\quad \theta=\arg(x,y) \in [0,2\pi)$$

であろうか。多くの本に

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac y x\right)$$

とあるが、 これは色々と問題を含んでいる式である (はっきり言えば「マズイ」)。 実際、$\tan^{-1}$ は $\tan$ の逆関数であるが、これが主値を表すと解釈すると値の範囲が $(-\pi/2,\pi/2)$ と幅 $\pi$ に制限されてしまう。この式だけでは 角度 $\pi$ の差は無視されることになる。 そもそも $(x',y')=-(x,y)$ として定義した $(x',y')$ は、 $(x,y)$ とは角度 $\theta$ が $\pi$ 異なるはずであるが、 $y/x=y'/x'$ であるから、 $\tan^{-1}$ を施す以前に角度 $\pi$ の違いが消えてしまう。 それ以外の情報 ($x$, $y$ の符号など) から再生する手続きが必要になる。

$$\theta \equiv \tan^{-1}\left(\frac y x\right)\pmod{\pi}$$

は正しい式であるのだが、これだけでは不十分であろう。