$n=3$ の場合

$n=3$ の場合、極座標を用いると、 (12) は

$$\frac{1}{\sin\theta} \frac{\rd}{\rd\theta} \left( \sin\theta\frac... ...d\theta} \right) +\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\rd^2 P}{\rd\varphi^2} +k(k+1)P=0$$ (10)

と書ける。

$z=\cos\theta$ なる変換を行い、 (13) の解で、変数分離形で表 されるものを求めると、適当な非負整数 $m$ と定数 $\alpha$ を用いて

$$P(z)=w(z)\sin(m\varphi-\alpha)$$

と書ける。ただし、$w$ は

$$(1-z^2)\frac{\D^2w}{\D z^2}-2a\frac{\D w}{\D z} +\left[ k(k+1)-\frac{m^2}{1-z^2} \right] w =0.$$ (11)

これを Legendre の同伴微分方程式と呼ぶ。