C..2.5 特性根が虚数である場合

微分方程式

$$y''+y=0$$ (C.11)

の特性方程式は $\lambda^2+1=0$ で、 特性根は $\lambda=\pm i$ ($i$ は虚数単位) である。 そこで定理 C.8 を機械的に適用すると、 一般解は

$$y=A e^{i x}+B e^{-i x} \mbox{($A$, $B$\ は任意定数)}$$ (C.12)

となるが、$e^{i x}$, $e^{-i x}$ は一体何であろうか？

実は指数関数 $e^x$ は、複素変数に一般化され、 その一般化された指数関数に対しても

$$\frac{\D}{\D x}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}$$   $$\mbox{($\lambda$\ は複素数の定数)}$$

などの性質は保たれるので、 (C.18) は 確かに微分方程式 (C.17) の解を与えるのである。

要約: 複素変数の指数関数

指数関数は複素変数まで拡張できる。 その定義には色々な方法があるが、どれを採用しても結果は一致する。 ここでは $z=x + i y$ ($x$, $y$ は実数, $i$ は虚数単位) に対して

$$e^z=e^{x + i y}:=e^x(\cos y+i\sin y)$$

と定義する。

• 実変数に関する指数関数の拡張になっている。
• 指数法則 $e^{z+w}=e^{z} e^{w}$ が成立する。
• 特に Euler の公式

  $$e^{i y}=\cos y+i\sin y$$ (C.13)

  
  
  が成り立つ。 $y=\pi$ とすると $e^{i \pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1+i\cdot 0=-1$ より有名な
  $$e^{i\pi}+1=0$$
  が得られる。 (C.20) で $y$ の代りに $-y$ とした

  $$e^{-i y}=\cos (-y)+i\sin(-y)=\cos y-i\sin y$$ (C.14)

  
  
  と (C.20) を連立方程式とみて、
  $$\cos y=\frac{1}{2}\left(e^{i y}+e^{-i y}\right),\quad \sin y=\frac{1}{2i}\left(e^{i y}-e^{-i y}\right)$$
  を得る。
• $\lambda$ が複素数であっても
  $$\frac{\D}{\D z}\left(e^{\lambda z}\right)=\lambda e^{\lambda z}.$$

• 任意の複素数 $z$ に対して
  $$e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}$$
  が成立する。
• $\left\vert e^{x+ i y}\right\vert=e^{x}$.

$p$, $q$ が実定数の場合、 $\lambda^2+p\lambda+q=0$ が虚根を持てば、 それは互いに複素共役である。ゆえに

$$\lambda=a\pm i b$$   $$\mbox{($a$, $b\in\mathbb{R}$; $b\ne 0$)}$$

と書ける。

$$A e^{(a+ib)x}+B e^{(a-ib)x} =A e^{a x}(\cos bx+i\sin bx) +B e^{a x}(\cos bx-i\sin bx)$$

$$=(A+B)e^{a x}\cos bx+i(A-B)e^{a x}\sin bx.$$

$C_1=A+B$, $C_2=i(A-B)$ とおくと、

$$y=C_1 e^{a x}\cos bx+C_2 e^{a x}\sin bx.$$ (C.15)

また $A$, $B$ は任意定数であることから、 $C_1$, $C_2$ も任意定数である²¹。 $C_1$, $C_2$ を実数の範囲のみで動かせば、 (C.21) は任意の実数値関数の解を表す。

補足     特性根が虚数である場合を定理の形にまとめておかなかったが、 そうしておくべきであった。

この文書では (元々の対象者が大学1年生であることから)、 証明はなるべく初等的にする方針で説明しているが、 ここではまず線形空間の議論に慣れている人向けの証明をして、 それから初等的な(だがやや面倒な)証明を示すことにする。

$n$ 階線形同次微分方程式に対し、

$$y=C_1\varphi_1(x)+\cdots+C_n\varphi_n(x)$$   ($C_1$, $\cdots$, $C_n$ は任意定数)

が一般解であるとは、線形代数の言葉を用いると、 $\varphi_1(x)$, $\cdots$, $\varphi_n(x)$ が 微分方程式の解空間 (解全体の集合のなす線形空間) の基底であることである。言い換えると

   解全体の集合$$=\mathop{\mathrm{Span}}\nolimits \left\{\varphi_1(x),\cdots,\varphi_n(x)\right\}$$

が成り立ち、$\varphi_1$, $\cdots$, $\varphi_n$ が1次独立であることである。