C..2.4.2 [ $e^{\alpha x}$, $x e^{\alpha x}$ の$1$次独立性]

定数 $C_1$, $C_2$ について

$$C_1 e^{\alpha x}+C_2 x e^{\alpha x}=0$$ (C.10)

が成り立ったとする。微分して

$$C_1\alpha e^{\alpha x}+C_2 e^{\alpha x}+C_2\alpha x e^{\alpha x} =0.$$

この式から (C.16) の $\alpha$ 倍を引くと

$$C_2 e^{\alpha x}=0.$$

ゆえに $C_2=0$. (C.16) に代入して

$$C_1 e^{\alpha x}=0.$$

これから $C_1=0$. $C_1=C_2=0$ が示せたので、 $e^{\alpha x}$, $x e^{\alpha x}$ は $1$ 次独立である。 $\qedsymbol$