C..2.3.2 [ $e^{\alpha x}$, $e^{\beta x}$ の$1$次独立性]

定数 $C_1$, $C_2$ について

$$C_1 e^{\alpha x}+C_2 e^{\beta x}=0$$ (C.9)

が成り立ったとする。微分して

$$C_1\alpha e^{\alpha x}+C_2\beta e^{\beta x}=0.$$

この式から (C.14) の $\alpha$ 倍を引くと

$$C_2(\beta-\alpha)e^{\beta x}=0.$$

仮定より $\alpha\ne \beta$ であるから $C_2=0$. (C.14) に代入して

$$C_1 e^{\alpha x}=0.$$

これから $C_1=0$. $C_1=C_2=0$ が示せたので、 $e^{\alpha x}$, $e^{\beta x}$ は $1$ 次独立である。 $\qedsymbol$