C..2.3.1 [任意の解は $e^{\alpha x}$, $e^{\beta x}$ の$1$次結合で書ける]

$y$ が $y''+p y'+q y=0$ の解だとする。

$$y_1:= \frac{y'-\beta y}{\alpha-\beta},\quad y_2:= \frac{y'-\alpha y}{\beta-\alpha}$$

とおくと

$$y_1+y_2=\frac{1}{\alpha-\beta}\left[ (y'-\beta y)-(y'-\alpha y) \right] =\frac{1}{\alpha-\beta}(\alpha-\beta)y =y.$$

また

$$y_1'-\alpha y_1 =\frac{1}{\alpha-\beta}\left[ (y''-\beta y')-\alpha(y'-\beta y) \right] =\frac{1}{\alpha-\beta} \left[ y''-(\alpha+\beta)y'+\alpha\beta y \right]$$

$$=\frac{1}{\alpha-\beta} (y''+p y'+q y)=0.$$

これから、ある定数 $C_1$ が存在して $y_1=C_1 e^{\alpha x}$ となること が分かる。同様にして ある定数 $C_2$ が存在して $y_2=C_2 e^{\beta x}$ となることが分かる。 ゆえに

$$y=y_1+y_2=C_1 e^{\alpha x}+C_2 e^{\beta x}.$$