2.4.0.1 証明1

$x(t)$ を (F.6a), (F.6b) の解と仮定すると

$$\frac{\D}{\D t}\left(e^{-a t}x(t)\right) =-ae^{-at}\cdot x(t)+e^{-at}\cdot x'(t) =-ae^{-at} x(t)+e^{-at}\cdot a x(t)=0.$$

ゆえにある定数 $C$ が存在して $e^{-at}x(t)=C$. これから $x(t)=C e^{-at}$ であるが、 初期条件(F.6b)に代入すると、 $C=x_0$. ゆえに $x(t)=x_0 e^{-at}$. $\qedsymbol$