8 解析関数の $\R$ 全体における定積分

$f\colon\R\to\R$ が解析関数であるとする (つまり $\R\subset \C$ と見なしたとき、は $\C$ における $\R$ の近傍で正則な関数に拡張できる)。このとき

$\begin{displaymath} I=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\Dx \end{displaymath}$

を数値積分することを考える。

を刻み幅とする台形公式を

$\begin{displaymath} T_h\DefEq h \sum_{n=-\infty}^\infty f(n h) \end{displaymath}$

で定義する。実際の計算では十分大きな

を取って

$\begin{displaymath} T_{h,N}\DefEq h\sum_{n=-N}^N f(n h) \end{displaymath}$

で

の代用とする。

ある意味で台形公式は最適な公式であることが証明できる。

次の二つの命題の証明は杉原・室田 [2]

$\begin{jtheorem}[]\upshape ${\cal D}(d)=\{z\in\C;\left\vert\Im z\right\vert<d\}... ... d/h\right)}{1-\exp(-2\pi d/h)} \Lambda(f,d-0). \end{displaymath}\end{jtheorem}$

(ここに $\pi$ を億桁近似するという、一見不思議な公式を！)

桂田祐史

8 解析関数の 全体における定積分

8 解析関数の $\R$ 全体における定積分