2 Bernoulli 多項式

この小節の内容は森 [3] による。

実パラメーター $t$ を持つ形式的冪級数

$$f_t(z)=\frac{z e^{tz}}{e^z-1}$$

の係数を $B_n(t)/n!$ とおこう:

$$\frac{z e^{tz}}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n(t)}{n!}z^n \quad\mbox{($\vert z\vert<2\pi$)}.$$

この $B_n(t)$ は $t$ についての $n$ 次多項式になるが、 これを $n$ 次の Bernoulli 多項式と呼び、

$$B_n\DefEq B_n(0)\quad\mbox{($n=0,1,\cdots$)}$$

を Bernoulli 数と呼ぶ。

$$B_0=1,\quad B_1=\frac{1}{2},\quad B_2=\frac{1}{6},\quad B_3=0,\quad B_4=-\frac{1}{30},\cdots.$$

$$B_0(x)=1,\quad B_1(x)=x-\frac{1}{2},\quad B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},\quad B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,\cdots$$