1 証明

積の微分法から

$$\frac{\D}{\Dt}p_n^{(n-r)}(t)u^{(r)}(a+t(z-a)) = p_n^{(n-r+1)}(t)u^{(r)}(a+t(z-a))+(z-a)p_n^{(n-r)}(t)u^{(r+1)}(a+t(z-a))$$

が成り立つが、この両辺に $(-1)^r(z-a)^r$ をかけて、$r=1$, $\cdots$, $n$ まで加えると

$$\begin{eqnarray*} && \frac{\D}{\Dt}\sum_{r=1}^n(-1)^r(z-a)^r p_n^{(n-r)}(t)u^{(... ...{(n)}(t)u'(a+t(z-a))+(-1)^n(z-a)^{n+1}p_n(t)u^{(n+1)}(a+t(z-a)). \end{eqnarray*}$$

$p_n^{(n)}(t)$ が定数 (ゆえに特に $p_n^{(n)}(0)$ に等しい) であること に注意して $t=0$ から $t=1$ まで積分すると結果を得る。