D.4 Newton 法

$$\vec F(\vec U):= A\vec U- \left( \begin{array}{c} (U_1)^2 (U_2)^2 \vdots (U_{N-1})^2 \end{array} \right)$$

とおくと、(D.5) は

$$\vec F(\vec U)=\vec 0$$ (D.6)

となる。

Newton 法とは、初期値 $\vec U^{(0)}$ を適当に選んで、後は漸化式

$$\vec U^{(k+1)}= \vec U^{(k)}- \left(\vec F'(U^{(k)})\right)^{-1} \vec F(\vec U^{(k)})$$ (D.7)

でベクトル列 $\{\vec U^{(k)}\}_{k\in\mathbb{N}}$ を定めるというものである。

$$\vec F'(\vec U) = A - 2\left( \begin{array}{rrrr} U_1 & \\ & U_2 \\ & & \ddots & \\ & & & U_{N-1} \end{array} \right)$$

であるから、ヤコビ行列 $\vec F'(\vec U)$ は三重対角行列である。

(D.7) において逆行列が現れるが、逆行列を計算せずに、連立 1次方程式を解く形で計算を遂行すべきことに注意しよう。