A.8.0.0.2 低次項からの減次

$f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_n x^n$ を因子 $x-\alpha$ によって 高次項から減次した多項式 $Q(x)=Q_0+Q_1x+\cdots+Q_{n-1}x^{n-1}$ を 求める。

1. $Q_{0}:= -a_0/\alpha$ とおく。
2. $i=1,2,\cdots,n-1$ の順に、以下を繰り返す。
   $Q_{i}:= (Q_{i-1}-a_i)/\alpha$.
3. $Q(x):=Q_0+Q_1 x+\cdots+Q_{n-1}x^{n-1}$ とおく。

絶対値の小さな根については高次項からの減次、 絶対値の大きな根については低次項からの減次 をした方が誤差の影響が少なくなる。 絶対値が中くらいの場合、 $\vert a_k \alpha^k\vert$ が最大となる $k=k_{\rm max}$ を 探し、

$$\widetilde q(x)=q_0+q_1x+\cdots+q_{k_{\rm max}}x^{k_{\rm max}} +Q_{k_{\rm max}+1}x^{k_{\rm max}+1}+\cdots+Q_{n-1}x^{n-1}.$$

を採用すると良い結果が得られることがある (そうだ)。